Jsou to synonyma, zřejmě záleží na jejich užití.
V odkazu význam Gehirn a Hrin
http://www.slov­nik.cz/

http://www.slov­nik.cz/

http://transla­te.google.cz/tran­slate?hl=cs&sl=­de&u=http://www­.duden.de/rechtsch­reibung/Hirn&prev=/se­arch%3Fq%3DGe­hirn%2Boder%2BHir­n%26client%3Dfi­refox-a%26hs%3DxWd%­26rls%3Dorg.mo­zilla:cs:offi­cial%26channel%3Dsb

http://www.du­den.de/rechtsch­reibung/Hirn

Německý slovník uvádí významy Gehirn
1.

1. (seltener) Gehirn
2. als Speise verwendetes, zubereitetes Gehirn eines Schlachttieres

   (umgangssprachlich) Verstand; Kopf (als Sitz der Denkfähigkeit, des Verstandes)

2. (Hovorová) smysl, hlava (jako sídlo schopnost logického myšlení, mysli)

1.
a) (Více zřídka) mozek
b) používá jako jídlo, vařené mozku jatečně upraveného těla

2. (Hovorová) mysl, hlava (jako sídlo schopnost logického myšlení, mysli)

Synonyma
Brain ; (anatomie) mozek , (medicína) encephalon
(North německy) Bregen
Porozumění , myšlení , myšlení , mozek , mysl , intelekt , mysl , mysl energie , (hovorově) Gripy , kroupy , hlava , (hovorově žertovně) na [malé] šedé buňky

Další vysvětlení rozdílu mezi oběma výrazy a jejich užití

http://transla­te.google.cz/tran­slate?hl=cs&sl=­en&u=http://fo­rum.wordreferen­ce.com/showthre­ad.php%3Ft%3D7­54231&prev=/se­arch%3Fq%3DGe­hirn%2Boder%2BHir­n%26client%3Dfi­refox-a%26hs%3D4Rd%­26rls%3Dorg.mo­zilla:cs:offi­cial%26channel%3Dsb

Žádný, obě slova znamanají totéž.

Obě slova se v základě kryjí. Mohou být regionální rozdíly.
Obojí znamená „mozek“, přeneseně „rozum“, „hlava“ (jako v českém: namáhat si s něčím hlavu).
Das Gehirn bych upřednostnil ve významu odborném – lékařském, biologickém.
Das Hirn bych upřednostnil v gastronomii jako české „mozeček“ (telecí, vepřový).