Zabíjejí v útulku zvířata?

Ano.
Usmrcování zvířat v útulcích je regulovano zákonem 246/1992 Sb. Co jiného by se asi tak s těmi zvířaty dělo, že jo.

V kostce je legislativa popsaná zde: http://www.oz­viratech.cz/u­traceni-zvirat-z-pohledu-zakona.a50.html

Ne.
Termín „moc dlouho“ je sice nepřesný, ale délka pobytu zvířete v útulku
na území ČR není dosud omezena. Občas se vyskytne nějaký návrh
na změnu legislativy, ale zatím se vždy setkal s odporem veřejnosti. např. zde je diskuze k podobnému návrhu jednoho starosty města:
http://www.cz-pes.cz/diskuse/10_11163_­0.html

Za určitých (poměrně přísných) podmínek může být utraceno zvíře nemocné, vyčerpané, přestárlé, nebezpečné atd. Uvědom si, že zvíře je 6měsíců stále majetkem původního vlastníka.
Zdá se to neuvěřitelné, ale provozování útulků je poměrně lukrativní záležitost. Na zvířata a provoz útulků přispívají obce
a města, mnohé dobrovolnické a ochranářské organizace, jednotlivci i majitelé nalezených psů nebo osvojitelé atd. Mladí psi a štěňata se zpravidla udají poměrně rychle a staří, postižení nebo týraní psi vzbuzují dostatek soucitu, takže na takové psy lidé rádi přispějí nebo si je vezmou domů na dožití. Sice se stále hovoří o přeplněných útulcích, ale většina psů se poměrně rychle udá (za poplatek) a na jeho místo nastoupí rychle další. Pravdou je, že hodně psů pochází od tzv. množitelů. Dokud nebude zavedena povinnost všechny psy nezaměnitelně identifikovat (čip) vždy bude problém s dohledáním majitele
a případně s jeho postihem .
Na Slovensku i přes odpor veřejnosti, je situace jiná. O poměrech
na Slovensku i u nás si můžeš udělat názor tady:
http://www.ho­me4pets.cz/si­tuace-u-nas-a-na-slovensku

K utrácení toulavých psů dochází také např. v Rumunsku, Rusku
a Ukrajině, ale tyto země jsou celosvětově tvrdě za takový postup kritizovány. Stovky
a tisíce dobrovolníků z vyspělějších zemí tyto ohrožené psy odvážejí
nebo zřizují v místě útulky a financují je.
Utrácení vysloužilých dostihových chrtů v Irsku vedlo před časem
k podobným akcím, kdy se na naše území hromadně dováželi k adopci vysloužilí chrti z Irska.
Každý stát má prostě jiná kritéria jak nakládat s toulavými nebo bezprizornými zvířaty, ale v ČR zatím k plošnému nebo hromadnému utrácení nedochází, usmrcují se psi spíše ojediněle a to v závažných odůvodněných případech.

ne

U nás určitě ne,vím o psech,kteří jsou v útulku 8 nebo 9 let.Ale například v Rumunsku,prý i na Slovensku to dělají.

Nezabijou, ale za jistých podmínek ho můžou nechat utratit veterinárním lékařem.

Ano.
Pokud jsou zvířata v útulku 3–5 let, lidé o ně již nestojí a útulky si s nimi nevědí rady.