Když vyměním wifi router, změním tím i IP adresu?

Pokud myslíš adresu v LAN, tak ta jiná být může, ale pokud máš nastaveno na zařízeních dynamické přidělování IP adres, tak je to jedno.

To záleží jak to myslíš. Interní LAN IP adresa je obvykle přednastavená (různé typy používají defaultně hodnoty, které jsou v manuálu, lze stáhnout na netu a obvykle ji lze přenastavit/změ­nit).
Pokud jde i IP navenek, tak to záleží na způsobu jejího přidělovánání. Někteří poskytovatelé dávají pevnou IP (obvykle když máš VEŘEJNOU IP, tu si na routeru musíš nastavit ručně), jiní poskytují přes DHCP (router si ji při iniciaci sosne sám).

Možná ano, možná ne, bez podrobností o připojení nelze odpovědět.