Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jedenkrát padne šest při hodu hrací kostkou šestkrát?

Házení jednou kostkou se řídí binomickým rozdělením. Má n stejných nezávislých pokusů, u kterých sledujeme jev A (padne šestka) s pravděpodobností p = (1/6) a nenastane, tj. nastane jev opačný A’ – nepadne šestka) s pravděpodobností q = (1 – p) = (5/6). Sledujme kolikrát v n pokusech jev A nastal.

Už víme, že pravděpodobnost jevu A v opakovaných hodech má binomické rozdělení ~ B(n,1/6), kde p(x) = (nx)(1/6)x(5/6)n-x. Proto stačí dosadit již jen hodnotu za parametr n a hledané pravděpodobnosti vyčíslit.

Jaká je pravděpodobnost, že padne aspoň jedna 6 při hodu šesti kostkami? Tj. Jaká je pravděpodobnost, že při šesti hodech jednou kostkou padne aspoň jednou 6? Sledodvaný pokus se řídí binomickým rozdělením B(6,1/6). Ještě si uvědomme, že slovíčko „aspoň“ napovídá, že je rozumné přejít k opačnému jevu: místo „aspoň jednou padne šestka“ použít „ani jednou šestka nepadne“, které odečteme od 1.

P(aspoň jedna 6 při hodu 6 kostkami) = 1 – p(0) = 1 – (60)(1/6)0(5/6)6 = 0,6651

Analogicky vypočítáme:
Jaká je pravděpodobnost, že padnou aspoň dvě 6 při hodu dvanácti kostkami? Tj. Jaká je pravděpodobnost, že při dvanácti hodech jednou kostkou padnou aspoň dvě 6? Sledodvaný pokus se řídí binomickým rozdělením B(12,1/6). Opět místo „aspoň dvě šestky“ přejdeme na „buď žádná nebo jedna šestka“

P(aspoň dvě 6 při hodu 12 kostkami) = 1 – p(0) – p(1) = = 1 – (120)(1/6)0(5/6)12 – (121)(1/6)1(5/6)11 = 0,6187

Odpověď na začátku položenou otázku zní: Je pravděpodobnější, že padne aspoň jedna 6 při hodu šesti kostkami, než že padnou aspoň dvě 6 při hodu 12 kostkami :)

Upravil/a: kamil95

Je to 1-pravděpodobnost, že nepadne ani jednou, tedy 1-(5/6)^6.

Proč se ptáš podruhé na to samé? Čekáš, že Ti padne jiná odpověď?

Zdá se, že by to mohlo být 1:6=0,166, to je cca 17%. To asi ale nebude správné, tak jednoduché to není, ale celkem se mi to líbí 😁

Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne šestka, nezávisí na tom, kolik hodů s jakým výsledkem bylo předtím.

Celkový počet možností, jak hodit šestkrát kostkou, je šest na šestou. Počet možností, jak hodit šestkrát kostkou bez jediné šestky (to jsou ty, které chceme vyloučit), je pět na šestou. Takže myslím, že odpověď je jedna minus (pět na šestou lomeno šesti na šestou), což je 66,51 %.

Pravdu má paul. Když budeš házet 100 krát, tak ta pravděpodobnost nebude tak blízká. Pokud budeš házet 1000 krát, pak se velmi přiblížíš. Pokud ale hodíš kostkou 10 000 krát, pak se pravděpodobnost blíží jistotě.

Když budeš házet 5 krát za sebou, tak pravděpodobnost, že při 6 hodu padne šestka se nezvyšuje.

Upravil/a: df

Se divím, že tentokrát ti to morálky nesmázly… 😀

Říká ti něco kombinatorika?