Komplexní čísla byla zavedena, aby mohla být definována odmocnina se
záporného čísla. S komplexními čísly lze provádět všechny operace,
sčítání, odčítání, násobení a dělení. Když jsme u toho násobení,
tak násobení stejným číslem je mocnění. Ale nikde jsem se nedovzvěděl,
co dostanu, když budu odmocňovat komplexní číslo. Platí , že i je
odmocnina z minus jedné.
Takže když budu mít príklad x2 = i, x2 = 1 +i , x2 = 2-i ,
to x2 je myšleno jako x na druhou. Jaké je to x?
Probírá se to někde na vysoké škole? Komplexní čísla se zakreslují do
roviny, co bych získal tímto výpočtem? Díky
ohodnoťte nejlepší odpověď symbolem palce
Zajímavá 2Pro koho je otázka zajímavá? Bičiště, orwell před 3590 dny |
Sledovat
Nahlásit
|
Ano, čísel máme mnoho, nejznámější jsou např. přirozená, celá
racionální, kladná, záporná, reálná, komplexní,… nebudu otravovat
s tím, co známe ze ZŠ. Komplexní čísla byla zavedena kdysi dávno,
abychom mohli úspěšně řešit algebraické rovnice vyšších stupňů, kde
se často vyskytují odmocniny ze záporných čísel. Zde není dost prostoru
pro nějaké přednášky, nehledě k tomu, že zde psát složitější mat.
vztahy je utrpením (alespoň pro mě). Proto odkazuji na zdroje
http://student21.gjwprostejov.cz/uploads/VG11%20Komplexni%20cisla.pdf
http://search.seznam.cz/?q=odmocniny+z+komplexn%C3%ADch+%C4%8D%C3%ADsel&sourceid=szn-HP
ale je toho na síti mnohem více, případně v nějaké učebnici pro SŠ,
…
Základy kompl. č. se učí na SŠ (my to měli tuším ve 2. ročníku na
průmyslovce). Na VŠ se už automaticky předpokládala znalost těchto věcí
a nikdo z vyučujících, se s tím (kromě nějakých specialit a
vychytávek) už nezabýval. Ale navazovala na to teorie funkcí kompl.
proměnných (namátkou si vzpomínám na nějakou funkci Žukovského, ale tam
už se nechytám). Tehdy jsem tam považoval kompl. čísla a počítání
s maticemi a determinanty za nejlehčí věci v matematice, všechno ostatní
už bylo jenom horší a horší. V elektrotechnice se na k.č. zakládají
prakticky všechny složitější výpočty obvodů se střídavými
harmonickými proudy, bez toho si člověk ani neťukne. Zde pro ně vymysleli
vědátoři pojmy jako fázory, kompl. impedance, kompl. admitance, …
Už se nebudu předvádět, ale uvedu něco konkrétního k věci. Obecně
vzato n-tá odmocnina z k.č. má n různých hodnot, z toho jednu hlavní.
Počítají se obvykle podle vzorce: (n-tá odm. z abs.h. k.č.) * (cos ((fí +
2k*pí)/n) + i*sin, kde fí je argument
k.č. a k = 0,1, 2, …, (n-1). To předpokládá vyjádření k.č.
v goniometrickém tvaru. Lze též použít exponenciální vyjádření k.č.
Ve složkovém tvaru (kartézském) se dá rozumně využít jen vztah pro
2. odmocninu, jinak ani neznám vztahy pro vyšší odmocniny, ani nevím
jestli existují. Takže příklady co uvádíš, jsou kvadratické rovnice a
pro výpočet kořenů budeme potřebovat výpočet 2. odmocniny z k.č. na
pravé straně Její hodnoty získáme podle uvedeného vzorce pro k = 0 a k =
1. Pro výpočet hodnot 2. odmocniny napíšeme k.č. na pravé straně
rovnice v goniometrickém tvaru: i = cos (pí/2) + i*sin (pí/2). Hlavní
hodnotu odmocniny získáme po dosazení do výše uvedeného vzorce za n = 2,
abs.h. = 1, fí = pí/2, k = 0 a po výpočtu x1 = cos (pí/4) + sin (pí/4).
Druhou hodnotu dostaneme pro k = 1 v tomto tvaru: x2 = cos (5*pí/4) + i*sin
(5*pí/4). Po převedení do kart. tvaru je x1 = (sqrt 2)/2 +i*(sqrt 2)/2 a x2
= – (sqrt 2)/2 – i*(sqrt 2)/2. Tyto hodnoty odmocniny jsou zároveň
kořeny uvedené rovnice. Můžeš se o tom přesvědčit umocněním každého
z komplexních kořenů ^2. Dostaneš v obou případech imaginární jednotku
i. Zbývající příklady se řeší obdobně. A k poslední podotázce tvé
otázky: Kompl. čísla zobrazujeme v tzv. Gaussově rovině komplexních
čísel (což je pravoúhlá souřadná soustava) kde na vodorovnou osu
vynášíme reálné složky kompl. čísel a na svislou osu imaginární
složky k.č. Obrazem k. čísla v G. rovině je tedy bod. Všechny kořeny
n-té odmocniny k. čísla tvoří v G. rovině vrcholy pravidelného
n-úhelníku.
Omlouvám se za psaní vzorců tímto způsobem, moje kódovací tabulka znaků
mi zde nějak nefunguje a psát horní nebo dolní indexy taky neumím.
Doplňuji:
Teď vidím, že mi ve vztahu x1 = cos (pí/4) + sin (pí/4) vpadla imaginární
jednotka, takže správně má být samozřejmě x1 = cos (pí/4) + i*sin
(pí/4).
Upravil/a: orwell
0 Nominace Nahlásit |
Mohla by být i čísla, která se zapisují ne do roviny, ale do prostoru. Na vysoké škole se to probírá v algebře, na kterou nemám nejlepší vzpomínky, pročež nebudu zacházet do podrobností.
0 Nominace Nahlásit |
samozřejmě odmocňovat komplexní čísla lze. Odmocniny obecně mají
více řešení (2. odmocnina má dvě, 3. má tři atd…). Jedním
z řešení odmocniny mocniny nějakého čísla je opět to číslo, dalšími
řešeními jsou jeho obrazy v komplexní rovině (stejná absolutní hodnota,
ale různý úhel)
Těm jiným než komplexním číslům můžete také třeba říkat vektory
(tří, čtyř,… rozměrné 😉
(komplexní číslo je možné často chápat jako dvourozměrný vektor,
v některých situacích ta „záměna“ není možná, resp. nedává
smysl… počítat odmocninu vektrou je příklad nesmyslu, zatímco druhá
odmocnina komplexního čísla smysl má)
0 Nominace Nahlásit |
Těmito výpočty, včetně mocnění a odmocňování, byste získal opět komplexní čísla, tedy opět nějaké body v rovině.
0
před 3590 dny
|
0 Nominace Nahlásit |
U otázky nebylo diskutováno.
Nový příspěvekannas | 5283 | |
Kepler | 2867 | |
Drap | 2636 | |
quentos | 1803 | |
mosoj | 1594 | |
marci1 | 1356 | |
led | 1348 | |
aliendrone | 1172 | |
zjentek | 1062 | |
Kelt | 1005 |
Astronomie |
Fyzika |
Jazyky |
Matematika |
Sociální vědy |
Technické vědy |
Ostatní věda |