Pokud se rozejdou dva lidé, kteří spolu mají psa, který z nich má právo si psa ponechat?

Pokud se nedokáží dohodnout, může na požádání rozhodnout soud.

Určitě je to na dohodě obou. Je ale fakt, že čipovaný pes je uveden v databázi a figuruje tam jméno majitele a adresa bydliště. To se dá samozřejmě při změně majitele přepsat.

Zvíře sice už není podle občanského zákoníku věc, ale pro potřeby vlastnictví se přiměřeně použijí ustanovení o vlastnictví.
Psa máte zřejmě ve spoluvlastnictví. Ke zrušení spoluvlastnictví platí §§1140 až 1149:
Spoluvlastnictví se zrušuje dohodou. Obecně se spoluvlastníci se vypořádají rozdělením společné věci (to v případě psa nepřipadá v úvahu), jejím prodejem z volné ruky (to by šlo) nebo ve veřejné dražbě s rozdělením výtěžku (opět to nepůjde), anebo převedením vlastnického práva jednomu nebo více spoluvlastníkům s vyplacením ostatních (zřejmě nejreálnější varianta).
Takže se musíte dohodnout: „Nedohodnou-li se spoluvlastníci o zrušení spoluvlastnictví, rozhodne o něm na návrh některého ze spoluvlastníků sou­d.“

Proč si myslíte, že střídavá péče není vhodná volba? Máme s ex ve střídavé péči dítě, i psa. Zatímco pro dítě je to náročnější z hlediska přesunů, psovi toto starosti nedělá. A oba benefituji z toho, že mají své milované lidi v životě. Psi jsou flexibilní, prostě si zvyknou, že mají dva domovy, stejně, jako se s vámi budou přesouvat mezi bytem a chalupou. Spíš je to o lidech, kteří jsou sobci a neumí se dohodnout.